Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por cuatro o mas polígonos no coplanares, denominados caras. Los lados y vértices de las caras son, respectivamente, las aristas y los vértices del poliedro.
Los poliedros pueden ser convexos o cóncavos. Un poliedro es convexo cuando todas sus caras son polígonos convexos. En cambio, un poliedro es cóncavo si alguna de sus caras es un polígono cóncavo.
Los poliedros convexos se clasifican a su vez en regulares e irregulares. Un poliedro es regular si todas sus caras son polígonos regulares congruentes y en cada vértice concurre el mismo numero de caras. Por el contrario, un polígono es irregular si sus caras no son todas congruentes o no concurren el mismo numero de caras en cada vértice.
Los cinco poliedros regulares son:
En un poliedro convexo (sin orificios ni entrantes) se cumple la formula de Euler, dada por la expresión:
C + V = A + 2
Donde C es el numero de caras, V es el numero de vértices y A es el numero de aristas.
Por ejemplo:
Para verificar que un octaedro cumple la fórmula de Euler, se realizan los siguientes pasos:
1). Planteamos la fórmula de Euler.
C + V = A + 2
8 + 6 = 12 + 2
3). Realizamos la suma para verificar la igualdad.
14 = 14
Prismas
Un prisma es un poliedro que tienen dos caras iguales y paralelas llamadas bases y sus caras laterales son paralelogramos.
Elementos de los prismas:
- Bases: Todos tienen dos bases, siendo ambas iguales y paralelas.
- Caras laterales: Son los paralelogramos comprendidos entre las 2 bases.
- Altura: Es la distancia entre las dos bases.
Los prismas se clasifican según el polígono que corresponde a sus bases. Por tanto, hay prismas triangulares, pentagonales, hexagonales, entre otros. Además, los prismas se pueden clasificar en rectos y oblicuos.
Un prisma recto es aquel en el que sus caras laterales son perpendiculares a las bases. En cambio, si las caras no son perpendiculares a las bases, es un prisma oblicuo.
Clasificación de prismas:
- Irregulares: Son aquellos cuyas bases son polígonos irregulares.
- Regulares: Son aquellos cuyas bases son polígonos regulares.
Los prismas toman el nombre del polígono de la base:
- Triángulo → Prisma triangular
- Cuadrado → Prisma cuadrangular
- Pentágono → Prisma pentagonal
- Hexágono → Prisma hexagonal
- ...
En un prisma se puede hallar las siguientes medidas:
Área Lateral (Al): Es la suma de las áreas de las caras laterales, la cual equivale al producto de la altura del prisma por el perímetro de una de sus bases. Está dada por la expresión:
Al = PB * h
Área Total (AT): Es la suma del área de las dos bases y el área lateral del prisma. Está dada por la expresión:
AT = AL + 2 * AB
Volumen (V): Es el producto del área de la base por la altura del prisma. Está dado por la expresión.
V= AB * h
Por ejemplo:
Debemos calcular el área total y el volumen del prisma hexagonal.
- Hallamos el área lateral del prisma
Al = PB * h
= 36 * 10
= 360
2. Hallamos el área de la base según su polígono, en este caso debemos de multiplicar su perímetro por el apotema y dividiendo en dos.
Una expresión que se usa para hallar el
apotema de un polígono regular es:
a = L * Tan(90°(n-2))
2 n
L = Medida de cada lado del
polígono
n = Número de lados
AB= PB * a
2
= (36)(3*1,7320508076)
2
= 93,5307436087
3. Hallamos el área total del prisma, sumando el área lateral y el áreas de las bases.
AT= Al + AB
= (360) + (2*93,5307436087)
= 547 cm^2
4. Hallamos el volumen del prisma multiplicando el área de la base por la altura.
V = AB * h
= (93,5307436087)(10)
= 935,3 cm^3
Pirámides
Una pirámide es un poliedro, cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos con un vértice común, que es el vértice de la pirámide.
Elementos de una pirámide:
- La altura de la pirámide es el segmento perpendicular a la base, que une la base con el vértice.
- Las aristas de la base se llaman aristas básicas y las aristas que concurren en el vértice, aristas laterales.
- La apotema lateral de una pirámide regular es la altura de cualquiera de sus caras laterales.
Las pirámides se clasifican según el polígono de su base en triangulares, cuadradas, pentagonales, entre otras. Además una pirámide puede ser recta u oblicua.
Una pirámide es recta si todas sus caras laterales son triángulos isósceles y es oblicua si alguna de sus caras laterales no es un triángulo isósceles.
Clasificación de Pirámides:
- Regular: Tiene de base un polígono regular y sus caras laterales iguales.
- Irregular: tiene de base un polígono irregular.
- Convexa: tiene de base un polígono convexo.
- Cóncava: tiene de base un polígono cóncavo.
Las pirámides toman nombre según su base:
- Triangular: Su base es un triángulo.
- Cuadrangular: Su base es un cuadrado.
- Pentagonal: Su base es un pentágono.
- Hexagonal: Su base es un hexágono.
En una pirámide se puede calcular el área lateral, el área de la base, el área total y el volumen.
Área Lateral (Al): Es la suma de las áreas de las caras laterales. Por tanto, en una pirámide recta, si la base es un polígono regular de n lados y A es el área de una de las caras laterales, se tiene que:
Al = nA
Área Total (AT): Es la suma del área de la base y el área lateral. Por tanto, si AB es el área de la base se tiene que:
AT = Al + AB
Volumen (V): Es la tercera parte del producto del área de la base por la altura de la pirámide. Por tanto, si h es la altura se tiene que:
V = 1 (AB * h)
3
Por ejemplo:
Observar las dimensiones de la pirámide. Luego, hallar el área total de esta.
1.Calculamos la apotema (a1) y (a2) de las caras laterales, aplicando el teorema de Pitágoras.
a1^2 = (104,4)^2 + (221,5/2)^2
= 23164,92^1/2
= 152,2
a2^2 = (104,4)^2 + (218,5)^2
= 22834,92^1/2
= 151,11
2. Se calculan las áreas de las caras laterales (A1 y A2).
3. Se calcula el área lateral Al , sumando las áreas de las caras laterales.
4. Calculamos el área total AT de la pirámide.
AT = Al + AB
AT = 66726,56 + (221,5*218,5)
= 66726,56 + 48397,75
= 3229415369,24 m^2
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